[Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài ghi chép này Vted trình diễn và trình làng cho tới độc giả Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một trong những ví dụ minh hoạ. Công thức này được cho phép tính thể tích một trong những khối nhiều diện cường độ áp dụng, áp dụng cao.

Hình chóp cụt

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt mày bằng ko trải qua $S$ và tuy nhiên song với mặt mày bằng lòng, rời những cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ ứng bên trên ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình bao gồm những nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là 1 trong những hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cơ hội giản dị và đơn giản, hình chóp cụt được tạo ra trở thành kể từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau thời điểm rời chuồn hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là nhị mặt mày lòng, những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là những mặt mày mặt mày. Các đoạn trực tiếp ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là những cạnh mặt mày, những cạnh của mặt mày lòng được gọi là những cạnh lòng.

+ Khoảng cơ hội thân thiện nhị mặt mày lòng được gọi là độ cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt sở hữu nhị lòng là những nhiều giác đều và chừng lâu năm những cạnh mặt mày đều nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi rời khối chóp tự một phía bằng tuy nhiên song với lòng thì mặt mày bằng tê liệt phân tách khối chóp tiếp tục mang đến trở thành nhị khối nhiều diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt sở hữu diện tích S nhị lòng theo lần lượt là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và độ cao tự $h$ (khoảng cơ hội thân thiện nhị đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của khối nón cụt

Video bài bác giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát lác tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

Combo X Luyện đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài bác kể từ cơ phiên bản cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài bác áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kỹ năng và trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới Khi kì đua trung học phổ thông 2024 kết giục.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu toàn bộ những cạnh tự $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ theo lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt bằng $\left( {A}'MN \right)$ rời cạnh $BC$ bên trên $P.$ Tính thể tích $V$ của khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là gửi gắm điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, Khi tê liệt $P$ là gửi gắm điểm $SN$ và $BC.$Ta sở hữu $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ theo đòi tỷ số tự $\dfrac{1}{2}.$

Khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt sở hữu độ cao $h=B{B}'=a$ và diện tích S hoặc lòng là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và phần mềm khoá PRO X.

Cách 2: Ta sở hữu $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta sở hữu ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Xem thêm: Đăng nhập Zalo trên máy tính có báo về điện thoại không

Ví dụ 2: Cho một chậu thau nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) sở hữu độ cao tự $3dm,$ lòng là lục giác đều, chừng lâu năm cạnh lòng rộng lớn tự $2dm$ và chừng lâu năm cạnh lòng nhỏ tự $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích lòng của chậu tự ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu tự $h=3.$

Thể tích của chậu tự ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều vội vàng 6 đợt diện tích S tam giác đều phải có nằm trong chừng lâu năm cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu lòng là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ theo lần lượt là trung điểm những cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt bằng $(MNG)$ rời $CA,CB$ theo lần lượt bên trên $E,F.$ Thể tích của khối nhiều diện sở hữu sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta sở hữu $MNP.EFC$ là 1 trong những chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong tê liệt ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích tự $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ theo lần lượt là những điểm phía trên những cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao mang đến $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường trực tiếp $NP$ rời đường thẳng liền mạch $B{B}'$ bên trên $E$ và đường thẳng liền mạch $EM$ rời đường thẳng liền mạch $AB$ bên trên $Q.$ Thể tích của khối nhiều diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ theo lần lượt là diện tích S lòng và độ cao của lăng trụ tiếp tục mang đến tao sở hữu $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong số đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt sở hữu độ cao $h.$

Ta sở hữu $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do tê liệt nhị tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ theo đòi tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy rời khỏi ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $C,AB=2a$ và góc tạo ra tự nhị mặt mày bằng $(AB{C}')$ và $(ABC)$ tự $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ theo lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt bằng $(AMN)$ phân tách khối lăng trụ tiếp tục mang đến trở thành nhị khối nhiều diện. Khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối nhiều diện $ANC.MQ{C}'$ hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn và tà tà khối chóp cụt sở hữu ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem thêm thắt Công thức tổng quát lác tính nửa đường kính mặt mày cầu nước ngoài tiếp khối tứ diện và những tình huống quánh biệt

Câu căn vặn tự động luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tính lâu năm cạnh tự $a.$ Mặt bằng chứa chấp đường thẳng liền mạch $C{D}'$ tạo ra với mặt mày bằng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ phân tách khối lập phương trở thành nhị khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi tê liệt ${{V}_{1}}$ bằng