Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bởi vì tổng những bình phương của nhị cạnh còn sót lại trừ cút nhị đợt tích của nhị cạnh ê nhân với \(cosin\) của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) đem những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng nhiều năm những lối trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh ê bởi vì 2 lần bán kính của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác 

Xem thêm: Khi nói về đột biến cấu trúc nhiễm sắc thể, có bao nhiêu phát biểu sau đây (Miễn phí)

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem bám theo một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp, bk lối tròn xoe nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác ê.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Khi tiếp tục biết một vài nhân tố của tam giác ê.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết dò xét côn trùng contact trong số những góc, cạnh tiếp tục cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô tấp tểnh lí cosin, tấp tểnh lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các vấn đề về giải tam giác: Có 3 vấn đề cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng tấp tểnh lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng tấp tểnh lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau ê người sử dụng hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với vấn đề này tớ dùng hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: Vé máy bay Sài Gòn Singapore giá rẻ từ 1.362.000 VND - Traveloka

1. Cần chú ý là 1 trong những tam giác giải được Khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, vô ê nên đem tối thiểu một nhân tố phỏng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trên 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những vấn đề thực tiễn, nhất là những vấn đề đo lường.