§3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỊNH LÍ COSIN
Định lí
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c tớ có:
a2 - b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
Áp dụng: Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác.
Cho tam giác ABC với những cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma mãnh, mb
và mc là chừng nhiều năm những lối trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh A, B và c của tam giác. Ta có:
ĐỊNH LÍ SIN
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, tớ có:
sin A sinB sinC
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Diện tích s của tam giác ABC được xem theo dõi một trong số công thức sau:
s = 4 ab sin c = 4 be sin A = ị ca sin B 2 2 2
4R s = pr
s = Ợp(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê-rông)
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho tam giác ABC vuông bên trên A, B = 58° và cạnh a = 72cm. Tính c, cạnh b, cạnh c và lối cao ha.
Giải
• c = 90° - B = 32°
• Theo toan lí sin, tớ suy ra: b =
asinC _ 72. sin 32°
sin A _ sin 90°
a sin B
sin A
72. sin 58°
sin 90°
38,15 (cm)
61,06 (cm)
• Ta có: s = g-bc = P.. a.ha (do tam giác ABC vuông bên trên A)
bc 61,60.38,15 a 72
32,35 (cm)
BÀI 2
Cho tam giác ABC biết những cạnh a = 52,lcm, b = 85cm và c = 54cm. Tính những góc Â, B và c.
Theo toan lí cosin, tớ suy ra:
0,8090
-0,2834
Ạ b-+c--a- 852 + 542 - (52,1)2
• cos A = — =
2bc 2.85.54
a2 + c2 - b2 _ (52, l)2 + 542 - 852 2ac “ 2.52,1.54
Vậy  « 36°.
Vậy B ~ 106°28’.
Suy rời khỏi c = 180° - (Â + B) = 180° - (36° + 106°28’) « 37°32’
BÀI 3
Giải
= 82 + 52 - 2.8.5.cosl20° a 129
= -0^9
2.(11,36).5
a 23°
Cho tam giác ABC với  - 120°, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a và những góc B, c của tam giác cơ.
Theo toan lí cosin, tớ có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA
Vậy a a ll,36cm.
a2 + C2 - b2
Ta có: cosB = — — =
2ac
Vậy B a 37°.
Suy ra: c = 180° - (Â + B)
BÀI 4
Tính diện tích S s của tam giác với số đo những cạnh theo thứ tự là 7,9 và 12.
Giải
Ta có: 2p= 7 + 9 + 12=>p=14
p-a=14-7 = 7 p - b = 14 - 9 = 5 p - c = 14 - 12 = 2
Ap dụng công thức Hêrong:
s = 714.7.5.2 = 722.72.5 = 14 75 (đvdt)
BÀI 5
Tam giác ABC với  = 120°. Tính cạnh BC cho biết thêm cạnh AC = m và AB = n.
Giải
Ta với BC2 = AC2 + AB2 - 2AB.AC cosl20°
BC2 = mét vuông + n2 - 2m.il. -
BC2 = mét vuông + n2 + mn => BC = ựm2 + n2 +
mn
BÀI 6
Tam giác ABC với những cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.
Tam giác cơ với góc tù không?
Tính chừng nhiều năm trung tuyến MA của tam giác ABC cơ.
Giải
Do a < b < c.
„ _ a2+ b2-c2 _ 82 +102 -132 1 -
2ab 2.8.10 ' 16
=> c > 90° hoặc tam giác ABC với góc c tù.
Ta có:
MA2 = 2(AB2 + AC2) - BC2 = 2(102 + 132) - 82
= 118,5
MA « 10,89 (cm).
BÀI 7
Tính góc lớn số 1 của tam giác ABC biết:
Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm.
Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm.
Giải
Nhận xét: Trong tam giác đốì diện với cạnh rộng lớn nhát là góc lớn số 1. Vậy vô câu a) thì góc c là góc lớn số 1, còn vô câu b) thì góc A là góc lớn số 1.
~ 9 + 16-36 11 n ~
a) cosC =-- . • = -77 ~ -0,4583 => c ~ 117°16’
2.3.4 24
h) cos =
BÀI 8
132 + 372 -402 62
2.13.37 - 702
A ~ 93°41’
Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, B = 83° và c - 57°. Tính góc A, nửa đường kính R của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, cạnh b và c của tam giác.
Ta có: Â = 180° - (B + C) = 180° - (83° + 57°) = 40°
_ a bc
Theo toan lí sin, tớ có: ——- = ——— = , tớ suy ra:
* sin A sinB sinC
asinB 137,5.sin 83° b = 7 = ,« 212,31 (cm)
sin A sin 40°
asinC 137,5.sin57° ir,n . .
c = ; - = " -"777 ~ 179,40 (cm)
sin A sin 40“
c _ c _ 179.40
Ta có: -^t; = 2R « R =-f—. Vậy R = = 106,95cm
sinC 2sinC 2 sin 57
BÀI 9
Cho hình bình hành ABCD với AB = a, BC - b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng mét vuông + n2 = 2(a2 + b2).
Giải A
Cho hình bình hành ABCD, tớ nên bệnh minh:
AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2)
Ta có: AC2 + BD2 = AC2 + BD~ D-
= (ÃẼ + ÃD)2 + (BÃ + BC)2 = 2(AB2 + AD2) + 2(ÃB.ÃD + BA.BC) Do BA = -AB và BC = AD nên:
AB.AD + BA.BC = 0
Vậy tớ có: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2)
•*»
BÀI 10
Hai tàu thủy p và Q xa nhau 300m. Từ p và Q trực tiếp mặt hàng với chân A của tháp đèn biển AB. ơ bên trên bờ trở nên người tớ coi độ cao AB của tháp bên dưới những góc BPA =35" và BQA =48°. Tính độ cao của tháp.
A
Giải
• Xét tam giác PQB có: P.. = 35°, PQB = 132°
Suy ra: PQB = 180° - (35° + 132°) = 13°
. , QB PQ
Theo toan lí sin, tớ có:
sin 35 sin 13
„„ PQ.sin35° 300. sin 35° => h>ky — . —— — ——
sin 13° sin 13"
Vậy BQ « 764,93m.
• Xét tam giác QBA, tớ có:
QBA = 180" - (48° + 90") = 42° Theo toan lí sin, tớ có:
AB = BQ AB _ BQ.sin48° ~ 764,93.sin 48°
sin 48° _ sin 90° _ sin 90° ~ sin 90°
Vậy AB ® 568,45 (cm).
BÀI 11
Muốn đo độ cao Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người tớ lấy nhị điểm A và B bên trên mặt mày khu đất với khoảng cách AB = 12m nằm trong trực tiếp mặt hàng với chân c của tháp để tại vị nhị giác nối tiếp (hình bên). Chân của giác nối tiếp với độ cao h = l,3m. Gọi D là đỉnh tháp và nhị điểm Ap B1 nằm trong trực tiếp mặt hàng với Cj nằm trong độ cao CD của tháp. Người tớ đo được DA1C1 = 49° và DBjCj = 35°. Tính độ cao CD = CC1 + C1D của tháp cơ.
Giải
Ta có: DA1C1= 49° => DB1C1 = 131°
=> A1DB1 = 14°
Xét tam giác DAjBp tớ có:
„ . A,B, .sinDB.A,
DA, = ——! . 1—1
sin A1DB1 => DAj « 28,45 (m)
Xét tam giác DCjAp tớ có:
CJ1A1 = 90° - 49° = 41°, suy ra:
DC, DA,
sinDÃ^C/ sin 90°
=> DC, = ĐA; <R5C|. 28.45 Sin49- ' sin 90° 1
Vậy độ cao tháp CD w 1,3 + 21,47 ~ 22,77 (m).