Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong mỗi nhánh cần thiết của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này này thông thường được dùng nhiều trong số Việc minh chứng bất đẳng thức nâng lên. Các em hãy ùng Marathon Education thám thính hiểu về công thức tính, cơ hội minh chứng và bài xích tập luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki qua quýt nội dung bài viết sau đây.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi lúc đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz tiếp sau đó rút gọn gàng lại gọi theo đuổi thương hiệu của phòng toán học tập người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này bởi 3 ngôi nhà toán học tập phân tích và cách tân và phát triển. Trong nghành nghề toán học tập, bất đẳng thức này được phần mềm không ít nhằm giải những Việc minh chứng bất đẳng thức và thám thính rất rất trị.
Bạn đang xem: Lý thuyết, công thức về Bất đẳng thức bunhiacopxki
Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\text{Dấu "=” xẩy ra Khi }ac = bd
\end{aligned}
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng tổng quát:
Với nhị cỗ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), tao có:
\begin{aligned}
&(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\
&\text{Dấu “=” xẩy ra Khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\
\end{aligned}
Nếu một vài này cơ (i = 1, 2, 3,…, n) vị 0 thì đẳng thức ứng vị 0.
Ngoài ra:
Hệ ngược của bất đẳng thức Bunhiacopxki
Hệ ngược 1
\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được Khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}
Hệ ngược 2
\begin{aligned}
&\small \text{Nếu } x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 \text{ (không đổi) thì:}\\
&\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được Khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\
&\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và lốt "=" xẩy ra Khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\
\end{aligned}
Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki
Các em hoàn toàn có thể minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:
Ta có:
\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\
&\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)}
\end{aligned}
Bài tập luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
Bài tập luyện 1: Cho những số a, b, c là những số thực dương ngẫu nhiên. Chứng minh rằng:
\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki mang lại phân thức, tao có:
\begin{aligned}
&\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều cần bệnh minh)}\\
&\footnotesize\text{Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi những độ quý hiếm a = b = c}
\end{aligned}\\
Bài tập luyện 2: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 (max) của biểu thức sau:
Hướng dẫn:
\begin{aligned}
&\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\
&\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\
&\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, tao có:}\\
&\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\
&\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\
&\footnotesize ⟺ -2 ≤ P.. ≤ 2\\
&\footnotesize \text{P đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\
&\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3
\end{aligned}
Bài tập luyện 3: Cho những số a, b, c là những số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.
Ta được:
\begin{aligned}
&\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\
&\text{Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi những số a = b = c}
\end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Bất đẳng thức Bunhiacopxki thông thường được vận dụng nhiều trong số bài xích tập luyện minh chứng bất đẳng thức và thám thính rất rất trị. Do cơ, những em rất cần được nắm rõ định nghĩa, công thức tính, cơ hội minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki và thực hiện nhiều loại bài xích tập luyện không giống nhau nhằm nâng lên kĩ năng giải toán của phiên bản thân ái.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học trực tuyến online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!