Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hình học

Để xét vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp, tớ hoàn toàn có thể dùng những cách thức sau:
1. Xét thông số góc: Để xét hai tuyến phố trực tiếp đem trùng nhau hay là không, tớ đối chiếu thông số góc của bọn chúng. Nếu hai tuyến phố trực tiếp đem nằm trong thông số góc, tức là đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy. trái lại, nếu như hai tuyến phố trực tiếp đem thông số góc không giống nhau, tức là bọn chúng ko tuy vậy tuy vậy.
2. Xét địa điểm của hai tuyến phố trực tiếp bên trên hệ trục tọa độ: Để xét địa điểm của hai tuyến phố trực tiếp d1: x- 2y+ 1= 0 và d2: -3x + 6y- 10= 0, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể vẽ đồ dùng thị của hai tuyến phố trực tiếp và xác xác định trí của bọn chúng bên trên hệ trục tọa phỏng. Nếu hai tuyến phố trực tiếp phó nhau bên trên một điểm, tức là bọn chúng hạn chế nhau bên trên điểm cơ. Nếu hai tuyến phố trực tiếp ko phó nhau, tức là bọn chúng tuy vậy song hoặc vuông góc cùng nhau.
3. Xét tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến: Chúng tớ hoàn toàn có thể xét tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến của đường thẳng liền mạch nhằm xác xác định trí của bọn chúng. Nếu tích vô phía vày 0, tức là hai tuyến phố trực tiếp vuông góc cùng nhau. trái lại, nếu như tích vô phía không giống 0, hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau.
Hy vọng rằng những cách thức bên trên tiếp tục khiến cho bạn xác lập vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp.

Bạn đang xem: Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hình học

Vị trí kha khá của hai tuyến phố trực tiếp được xác lập bằng phương pháp kiểm tra những mối quan hệ đằm thắm hai tuyến phố trực tiếp cơ. Có phụ thân tình huống cơ bạn dạng nhằm xác lập vị trí tương đối của hai tuyến phố thẳng:
1. Trùng nhau: Hai đường thẳng liền mạch trùng nhau khi và chỉ khi phương trình của bọn chúng giống hệt, tức là đem và một thông số góc và một thông số tự tại.
2. Song song: Hai đường thẳng liền mạch tuy vậy song khi và chỉ khi phương trình của bọn chúng đem và một thông số góc tuy nhiên thông số tự tại không giống nhau.
3. Vuông góc: Hai đường thẳng liền mạch vuông góc khi và chỉ khi tích vô vị trí hướng của nhị vector chỉ phương có mức giá trị vày 0. Tích vô vị trí hướng của nhị vector chỉ phương được xem bằng phương pháp nhân thông số góc của hai tuyến phố trực tiếp cùng nhau và với những tích vô phía ứng của hai tuyến phố trực tiếp.
Đó là khái niệm vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp.

Hai đường thẳng liền mạch hoàn toàn có thể đem đến tứ vị trí tương đối không giống nhau:
1. Trùng nhau: Hai đường thẳng liền mạch trùng nhau nếu như những phương trình của bọn chúng đem và một thông số góc và thông số tự tại.
2. Song song: Hai đường thẳng liền mạch tuy vậy song nếu như những phương trình của bọn chúng đem và một thông số góc tuy nhiên thông số tự tại không giống nhau.
3. Vuông góc: Hai đường thẳng liền mạch vuông góc cùng nhau nếu như tích vô vị trí hướng của nhị vector chỉ phương ứng với những lối này vày 0.
4. Cắt nhau: Hai đường thẳng liền mạch hạn chế nhau nếu như bọn chúng ko trùng nhau, ko tuy vậy song và tích vô vị trí hướng của nhị vector chỉ phương ứng với những lối này không giống 0.

Để xác lập coi hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 đem trùng nhau hay là không, tớ cần thiết đối chiếu những thông số của hai tuyến phố trực tiếp này.
Hệ số gốc của đường thẳng liền mạch được xác lập vày số hạng tự tại (số cuối cùng) nhập phương trình đường thẳng liền mạch. Trong tình huống này, đường thẳng liền mạch d1 đem số hạng tự tại là một trong và đường thẳng liền mạch d2 đem số hạng tự tại là -10.
Nếu hai tuyến phố trực tiếp đem nằm trong thông số gốc, Tức là bọn chúng đem và một điểm xúc tiếp với trục hoành của hệ trục toạ phỏng, và bởi vậy bọn chúng trùng nhau.
Tuy nhiên, nhập tình huống này, số hạng tự tại của hai tuyến phố trực tiếp không giống nhau, chính vì vậy bọn chúng ko trùng nhau.
Vì vậy, sau khoản thời gian xét những thông số của hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể Tóm lại rằng hai tuyến phố trực tiếp này sẽ không trùng nhau.

Để xác lập coi đường thẳng liền mạch d1 và d2 đem tuy vậy song cùng nhau hay là không, tớ hoàn toàn có thể dùng cách thức đánh giá qua loa những thông số của phương trình đường thẳng liền mạch.
Với đường thẳng liền mạch d1 đem phương trình x - 2y + 1 = 0, tớ lấy thông số góc a1 của đường thẳng liền mạch này vày thông số của hắn nhập phương trình. Trong tình huống này, a1 = -2.
Tương tự động, với đường thẳng liền mạch d2 đem phương trình -3x + 6y - 10 = 0, tớ lấy thông số góc a2 của đường thẳng liền mạch này vày thông số của hắn nhập phương trình. Trong tình huống này, a2 = 6.
Nếu hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy song cùng nhau, thì thông số góc của bọn chúng tiếp tục đều nhau. Do cơ, tớ đối chiếu độ quý hiếm của a1 và a2. Nếu a1 = a2, thì đường thẳng liền mạch d1 và d2 là tuy vậy song cùng nhau.
Tuy nhiên, nhập tình huống này, tớ thấy rằng a1 = -2 và a2 = 6, tức là a1 ko vày a2. Vì vậy, tớ Tóm lại rằng đường thẳng liền mạch d1 và d2 ko tuy vậy song cùng nhau.

Để xác lập coi hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 đem vuông góc cùng nhau hay là không, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng cách thức tích vô phía (dot product). Cách thực hiện như sau:
1. Biểu biểu diễn hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 bên dưới dạng phương trình tổng quát:
- Đường trực tiếp d1: x - 2y + 1 = 0 (1)
- Đường trực tiếp d2: -3x + 6y - 10 = 0 (2)
2. Chuyển những phương trình (1) và (2) về dạng phương trình tham ô số:
- Đường trực tiếp d1: (x, y) = (1 + 2t, t) (3)
- Đường trực tiếp d2: (x, y) = (2 + 2s, s) (4)
3. Xác tấp tểnh nhị vector chỉ phương của đường thẳng liền mạch d1 và d2:
- Vector chỉ phương của d1: v1 = (2, 1) (5)
- Vector chỉ phương của d2: v2 = (2, 1) (6)
4. Tính tích vô vị trí hướng của v1 và v2:
- Tích vô vị trí hướng của v1 và v2: v1 · v2 = 2 * 2 + 1 * 1 = 4 + 1 = 5
5. Kiểm tra kết quả:
- Nếu tích vô phía v1 · v2 không giống 0, tức là v1 và v2 ko vuông góc cùng nhau. Trong tình huống này, v1 · v2 = 5, không giống 0, vì thế d1 và d2 ko vuông góc cùng nhau.
Như vậy, theo gót phép tắc xét kha khá của hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2, bọn chúng ko vuông góc cùng nhau.

Xem thêm: Những điều tạo nên vẻ đẹp của Hà Nội trong mắt du khách nước ngoài

Để xác lập coi hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 đem hạn chế nhau hay là không, tớ dùng cách thức tính tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến của hai tuyến phố trực tiếp.
Cách 1: Trước hết, tìm hiểu phương trình đường thẳng liền mạch d1: x - 2y + 1 = 0 và d2: -3x + 6y - 10 = 0. Hai đường thẳng liền mạch này đều phải có dạng ax + by + c = 0. Ta thấy những thông số a, b, c của phương trình này đó là những thành phần của vectơ pháp tuyến (a, b). Trong tình huống này, vectơ pháp tuyến của đường thẳng liền mạch d1 là (1, -2) và của đường thẳng liền mạch d2 là (-3, 6).
Cách 2: Sử dụng công thức tích vô phía, tớ tính tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến: (1, -2) . (-3, 6) = 1*(-3) + (-2)*6 = -3 - 12 = -15.
Cách 3: So sánh tích vô phía với 0. Nếu tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến không giống 0 (-15 nhập tình huống này), thì hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 tiếp tục hạn chế nhau. Nếu tích vô phía vày 0, hai tuyến phố trực tiếp tiếp tục vuông góc hoặc tuy vậy song cùng nhau.
Vì tích vô vị trí hướng của nhị vectơ pháp tuyến của đường thẳng liền mạch d1 và d2 là -15 (khác 0), nên hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 tiếp tục hạn chế nhau.

Khi xét vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp, tớ dùng tích vô phía nhằm đánh giá coi hai tuyến phố trực tiếp đem hạn chế nhau, tuy vậy song hoặc vuông góc cùng nhau hay là không. Tích vô phía đằm thắm nhị vectơ a = (x; y) và b = (x\'; y\') được xem vày công thức ab = x*x\' + y*y\'.
Lý vì thế tớ dùng tích vô phía là vì như thế nó mang đến tớ vấn đề về góc đằm thắm hai tuyến phố trực tiếp, rưa rứa lý thuyết của bọn chúng. Nếu ab = 0, tức là tích vô vị trí hướng của nhị vectơ vày 0, đồng nghĩa tương quan với việc những vectơ này vuông góc cùng nhau. Nếu ab không giống 0, nhị vectơ ko vuông góc cùng nhau. Nếu ab = -1, hoàn toàn có thể Tóm lại rằng hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy song cùng nhau.
Tóm lại, dùng tích vô phía canh ty tất cả chúng ta nhận ra được vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp dễ dàng và đơn giản và đúng chuẩn.

Công thức tính tích vô phía đằm thắm nhị vectơ a và b là:
tich_vo_huong = a*x\' + b*y\'
trong cơ, a=(x, y) và b=(x\', y\') là nhị vectơ.
Để vận dụng công thức tích vô phía này nhập xét vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp, tớ thực hiện như sau:
1. Trước hết, nên xác lập nhị vectơ vị trí hướng của hai tuyến phố trực tiếp. Để thực hiện điều này, tớ để ý những thông số của x và hắn nhập phương trình đường thẳng liền mạch.
Ví dụ: đường thẳng liền mạch d1: x - 2y + 1 = 0 đem vectơ phía là (1, -2), và đường thẳng liền mạch d2: -3x + 6y - 10 = 0 đem vectơ phía là (-3, 6).
2. Tiếp theo gót, tính tích vô phía đằm thắm nhị vectơ vị trí hướng của hai tuyến phố trực tiếp bằng phương pháp dùng công thức bên trên.
Ví dụ: tich_vo_huong = (1*(-3)) + (-2*6) = -3 - 12 = -15.
3. Dựa nhập sản phẩm tích vô phía, tớ hoàn toàn có thể xác lập vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp như sau:
- Nếu tích vô phía không giống 0, tức là tich_vo_huong != 0, thì hai tuyến phố trực tiếp cơ hạn chế nhau.
- Nếu tích vô phía vày 0, tức là tich_vo_huong = 0, thì hai tuyến phố trực tiếp cơ trùng nhau.
- Nếu hai tuyến phố trực tiếp đem vectơ phía tuy vậy song và ko trùng nhau, tức là ko hạn chế và ko trùng nhau, thì tích vô phía ko cần thiết xét.
Trong ví dụ bên trên, vì như thế tích vô phía là -15 không giống 0, nên hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 hạn chế nhau.

Có, ngoài những việc dùng tích vô phía, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể xét vị trí tương đối của hai tuyến phố trực tiếp bằng phương pháp dùng công thức hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau. Công thức này được xem như là cách thức đúng chuẩn rộng lớn vì như thế nó không chỉ là thể hiện Tóm lại về việc hạn chế nhau của hai tuyến phố trực tiếp mà còn phải cung ứng vấn đề về điểm hạn chế của bọn chúng.
Cách nhằm dùng công thức hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau là tiến hành quá trình sau:
1. Đặt hệ phương trình hai tuyến phố trực tiếp d1 và d2 bên dưới dạng tổng quát:
d1: ax + by + c1 = 0
d2: dx + ey + c2 = 0

2. Tìm độ quý hiếm của thông số a, b, c1, d, e, c2.
3. Sử dụng công thức tính điểm hạn chế của hai tuyến phố thẳng:
x = (b*c2 - e*c1) / (a*e - b*d)
y = (c1*d - a*c2) / (a*e - b*d)

Trong cơ, nếu như khuôn số (a*e - b*d) không giống 0, tức là hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau bên trên điểm đem tọa phỏng (x, y). trái lại, nếu như khuôn số vày 0, hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy song hoặc nằm trong trùng nhau.
Việc dùng công thức hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau tiếp tục thể hiện sản phẩm đúng chuẩn và cụ thể rộng lớn chỉ dùng tích vô phía, quan trọng khi hai tuyến phố trực tiếp ko trực tiếp đứng.