Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng liền mạch lên trên bề mặt phẳng

Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ hạn chế $(P).$ Gọi $Q$ là mặt mày bằng phẳng chứa chấp $d$ và $Q\bot (P),$ bởi vậy $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ dò thám một điểm nằm trong $\Delta $ là $A=d\cap (P).$

Bạn đang xem: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

>>Xem thêm Phương trình đàng phân giác của góc nhọn và tù của tạo nên vì thế hai tuyến đường trực tiếp hạn chế nhau

Ví dụ 1: Trong không khí với hệ toạ chừng $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}.$ Phương trình này bên dưới đấy là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng phẳng $x+3=0?$

A. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5-t \\ & z=-3+4t \\ \end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+2t \\ & z=3-t \\ \end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-6-t \\ & z=7+4t \\ \end{align} \right..$

Giải. Gọi $Q$ là mặt mày bằng phẳng chứa chấp $d$ và $Q\bot (P),$ bởi vậy $\Delta =(P)\cap (Q)$ và

$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=(0;1;-4)$ và dễ dàng đem $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$

Vậy $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ so sánh đáp án nhận D.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0.$ Hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên $\left( Phường \right)$ là đường thẳng liền mạch đem phương trình là

A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}.$

B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}.$

C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$

D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$

Dễ đem $d\cap \left( Phường \right)=A\left( 0;1;2 \right).$

Giải. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt mày bằng phẳng chứa chấp $d$ và vuông góc với $\left( Phường \right)\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;-1 \right) \\ \hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2;1 \right) \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].$Khi tê liệt $\left( Phường \right)\cap \left( Q \right)=\Delta =\mathbf{h/c}\left( \mathbf{d,}\left( \mathbf{P} \right) \right)$ mang trong mình 1 véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=\left( 4;2;-8 \right)//\left( 2;1;-4 \right).$

Do tê liệt $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ thạo rằng $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right).$ Phương trình của $\left( Phường \right)$ là

Giải. Ta đem $A\left( 0;1;2 \right)\in \Delta \Rightarrow A\in \left( Phường \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt mày bằng phẳng chứa chấp $d$ và $\Delta $ thì $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( Phường \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]//\left( 1;2;1 \right)$

Do tê liệt $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0.$ Chọn đáp án C.

>Cách xác lập nhanh chóng toạ chừng tâm đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác nhập không khí Oxyz

Ví dụ 4: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2m+1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{m-2},m\notin \left\{ -\frac{1}{2},2 \right\}$ và mặt mày bằng phẳng $(P):x+y+z-6=0.$ Gọi $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng phẳng $(P).$ Có từng nào số thực $m$ nhằm $\Delta $ vuông góc với véctơ $\overrightarrow{a}(-1;0;1).$

Giải. Gọi $\left\{ \begin{gathered} (Q) \supset d \hfill \\ (Q) \bot (P) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (4 - m; - m - 3;2m - 1).$

Khi tê liệt $\Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-3m-2;3m-5;7).$

Vì $\Delta \bot \overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow -1(-3m-2)+7=0\Leftrightarrow m=-3.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhì mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0$ và $\left( R \right):x+2y+3z-8=0.$ Đường trực tiếp $d$ nằm trong $\left( R \right),$ hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên $\left( Phường \right)$ là đường thẳng liền mạch $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $\left( Q \right)=mp\left( d,\Delta \right)\Rightarrow \left( Q \right)\bot \left( Phường \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -9;6;-3 \right)||\left( 3;-2;1 \right)$$\Rightarrow \left( Q \right):3x-2y+z=0$

Khi tê liệt $d=\left( Q \right)\cap \left( R \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhì điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 1;1;2 \right)$ và mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch nằm trong $\left( Phường \right)$ hạn chế $AB$ sao cho tới góc thân thiện $AB$ với $d$ và $\left( Phường \right)$ cân nhau. Khoảng cơ hội kể từ $A$ cho tới $d$ bằng

Giải. Vì $d$ là đường thẳng liền mạch nằm trong $\left( Phường \right)$ hạn chế $AB$ sao cho tới góc thân thiện $AB$ với $d$ và $\left( Phường \right)$ cân nhau nên $d$ đó là hình chiếu vuông góc của $AB$ lên $\left( Phường \right)\Rightarrow AH\bot d\Rightarrow AH\bot \left( Phường \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AH=d\left( A,\left( Phường \right) \right)=\dfrac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Bài tập dượt tự động luyện:

Trong không khí với hệ toạ chừng $Oxyz,$ cho tới mặt mày bằng phẳng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng phẳng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$

Phương trình đường thẳng liền mạch đối xứng với đường thẳng liền mạch qua quýt mặt mày phẳng

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường trực tiếp $d'$ đối xứng với $d$ qua quýt mặt mày bằng phẳng $\left( Phường \right)$ đem phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+1}{7}.$

B.  $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{7}.$

C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{7}.$

D.  $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z+1}{7}.$

Giải. Ta đem $d\cap (P)=I(1;1;1).$ Gọi $B$ là vấn đề đối xứng của $A(0;-1;2)\in d$ qua quýt mặt mày bằng phẳng $(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1} \hfill \\ 1\left( {\dfrac{{x + 0}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{z + 2}}{2}} \right) - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right).$

Đường trực tiếp cần thiết dò thám qua quýt nhì điểm $I,B$ đem véctơ chỉ phương $\overrightarrow{IB}\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)//(1;-2;7).$ Đối chiếu những đáp án lựa chọn C.

Phương trình hình chiếu tuy vậy song của đường thẳng liền mạch lên trên bề mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{1}.$ Hình chiếu tuy vậy song của $d$ lên trên bề mặt bằng phẳng $(Ozx)$ theo đuổi phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ là

Giải. Ta đem $B\left( 2;0;\dfrac{7}{2} \right)=d\cap (Ozx):y=0.$ Gọi $A(1;-2;3)\in d$ và $M(x;y;z)$ là hình chiếu tuy vậy song của $A$ lên trên bề mặt phẳng  $(Ozx)$ theo đuổi phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ tao đem điều kiện:

$\left\{ \begin{gathered} M \in (Ozx) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = k( - 1; - 1;1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} nó = 0 \hfill \\ x - 1 = - k \hfill \\ nó + 2 = - k \hfill \\ z - 3 = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ nó = 0 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ k = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(3;0;1).$

Đường trực tiếp cần thiết dò thám qua quýt nhì điểm $B,M$ đem $\overrightarrow{BM}\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)//(2;0;-5).$ Đối chiếu những đáp án lựa chọn C.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{3}$và mặt mày bằng phẳng $(P):x+y+z-3=0.$ Đường trực tiếp là hình chiếu của $d$ theo đuổi phương $Ox$ lên trên bề mặt bằng phẳng $(P)$ đem phương trình là

Giải. Chọn $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$ và $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)=d\cap \left( Phường \right).$

Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $A$ lên \[\left( Phường \right)\] theo đuổi phương $Ox.$ Khi tê liệt $\overrightarrow{AM}\left( a-1;b-2;c+1 \right).$

Do $\overrightarrow{AM}$ nằm trong phương với $Ox$ nên $\overrightarrow {AM} = k(1;0;0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b - 2 = 0 \hfill \\ c + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b = 2,c = - 1.$

Do $M\in \left( Phường \right)$ nên $a+b+c=3\Leftrightarrow a=2.$ Khi tê liệt ${d}'$ qua quýt $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\left( 2;2;-1 \right).$

Có $\overrightarrow{BM}\left( \dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{2} \right)//(4;-1;-3).$ Vậy ${d}':\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}.$ Chọn đáp án B.

Hướng dẫn dùng MTCT Casio Fx 580 nhập Oxyz

Tuyển tập dượt Đề ganh đua demo Toán trung học phổ thông Quốc gia 2020 đem câu nói. giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán giành cho teen 2K5

>>Xem thêm thắt Cập nhật Đề ganh đua demo chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán đem câu nói. giải chi tiết