§3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỊNH LÍ COSIN Định lí Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c tớ có: a2 - b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosC Áp dụng: Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác. Cho tam giác ABC với những cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma mãnh, mb và mc là chừng nhiều năm những lối trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh A, B và c của tam giác. Ta có: ĐỊNH LÍ SIN Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, tớ có: sin A sinB sinC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Diện tích s của tam giác ABC được xem theo dõi một trong số công thức sau: s = 4 ab sin c = 4 be sin A = ị ca sin B 2 2 2 4R s = pr s = Ợp(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê-rông) B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Cho tam giác ABC vuông bên trên A, B = 58° và cạnh a = 72cm. Tính c, cạnh b, cạnh c và lối cao ha. Giải • c = 90° - B = 32° • Theo toan lí sin, tớ suy ra: b = asinC _ 72. sin 32° sin A _ sin 90° a sin B sin A 72. sin 58° sin 90° 38,15 (cm) 61,06 (cm) • Ta có: s = g-bc = P.. a.ha (do tam giác ABC vuông bên trên A) bc 61,60.38,15 a 72 32,35 (cm) BÀI 2 Cho tam giác ABC biết những cạnh a = 52,lcm, b = 85cm và c = 54cm. Tính những góc Â, B và c. Theo toan lí cosin, tớ suy ra: 0,8090 -0,2834 Ạ b-+c--a- 852 + 542 - (52,1)2 • cos A = — = 2bc 2.85.54 a2 + c2 - b2 _ (52, l)2 + 542 - 852 2ac “ 2.52,1.54 Vậy  « 36°. Vậy B ~ 106°28’. Suy rời khỏi c = 180° - ( + B) = 180° - (36° + 106°28’) « 37°32’ BÀI 3 Giải = 82 + 52 - 2.8.5.cosl20° a 129 = -0^9 2.(11,36).5 a 23° Cho tam giác ABC với  - 120°, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a và những góc B, c của tam giác cơ. Theo toan lí cosin, tớ có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA Vậy a a ll,36cm. a2 + C2 - b2 Ta có: cosB = — — = 2ac Vậy B a 37°. Suy ra: c = 180° - ( + B) BÀI 4 Tính diện tích S s của tam giác với số đo những cạnh theo thứ tự là 7,9 và 12. Giải Ta có: 2p= 7 + 9 + 12=>p=14 p-a=14-7 = 7 p - b = 14 - 9 = 5 p - c = 14 - 12 = 2 Ap dụng công thức Hêrong: s = 714.7.5.2 = 722.72.5 = 14 75 (đvdt) BÀI 5 Tam giác ABC với  = 120°. Tính cạnh BC cho biết thêm cạnh AC = m và AB = n. Giải Ta với BC2 = AC2 + AB2 - 2AB.AC cosl20° BC2 = mét vuông + n2 - 2m.il. - BC2 = mét vuông + n2 + mn => BC = ựm2 + n2 + mn BÀI 6 Tam giác ABC với những cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. Tam giác cơ với góc tù không? Tính chừng nhiều năm trung tuyến MA của tam giác ABC cơ. Giải Do a < b < c. „ _ a2+ b2-c2 _ 82 +102 -132 1 - 2ab 2.8.10 ' 16 => c > 90° hoặc tam giác ABC với góc c tù. Ta có: MA2 = 2(AB2 + AC2) - BC2 = 2(102 + 132) - 82 = 118,5 MA « 10,89 (cm). BÀI 7 Tính góc lớn số 1 của tam giác ABC biết: Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm. Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm. Giải Nhận xét: Trong tam giác đốì diện với cạnh rộng lớn nhát là góc lớn số 1. Vậy vô câu a) thì góc c là góc lớn số 1, còn vô câu b) thì góc A là góc lớn số 1. ~ 9 + 16-36 11 n ~ a) cosC =-- . • = -77 ~ -0,4583 => c ~ 117°16’ 2.3.4 24 h) cos = BÀI 8 132 + 372 -402 62 2.13.37 - 702 A ~ 93°41’ Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, B = 83° và c - 57°. Tính góc A, nửa đường kính R của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, cạnh b và c của tam giác. Ta có:  = 180° - (B + C) = 180° - (83° + 57°) = 40° _ a bc Theo toan lí sin, tớ có: ——- = ——— = , tớ suy ra: * sin A sinB sinC asinB 137,5.sin 83° b = 7 = ,« 212,31 (cm) sin A sin 40° asinC 137,5.sin57° ir,n . . c = ; - = " -"777 ~ 179,40 (cm) sin A sin 40“ c _ c _ 179.40 Ta có: -^t; = 2R « R =-f—. Vậy R = = 106,95cm sinC 2sinC 2 sin 57 BÀI 9 Cho hình bình hành ABCD với AB = a, BC - b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng mét vuông + n2 = 2(a2 + b2). Giải A Cho hình bình hành ABCD, tớ nên bệnh minh: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) Ta có: AC2 + BD2 = AC2 + BD~ D- = (ÃẼ + ÃD)2 + (Bà + BC)2 = 2(AB2 + AD2) + 2(ÃB.ÃD + BA.BC) Do BA = -AB và BC = AD nên: AB.AD + BA.BC = 0 Vậy tớ có: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) •*» BÀI 10 Hai tàu thủy p và Q xa nhau 300m. Từ p và Q trực tiếp mặt hàng với chân A của tháp đèn biển AB. ơ bên trên bờ trở nên người tớ coi độ cao AB của tháp bên dưới những góc BPA =35" và BQA =48°. Tính độ cao của tháp. A Giải • Xét tam giác PQB có: P.. = 35°, PQB = 132° Suy ra: PQB = 180° - (35° + 132°) = 13° . , QB PQ Theo toan lí sin, tớ có: sin 35 sin 13 „„ PQ.sin35° 300. sin 35° => h>ky — . —— — —— sin 13° sin 13" Vậy BQ « 764,93m. • Xét tam giác QBA, tớ có: QBA = 180" - (48° + 90") = 42° Theo toan lí sin, tớ có: AB = BQ AB _ BQ.sin48° ~ 764,93.sin 48° sin 48° _ sin 90° _ sin 90° ~ sin 90° Vậy AB ® 568,45 (cm). BÀI 11 Muốn đo độ cao Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người tớ lấy nhị điểm A và B bên trên mặt mày khu đất với khoảng cách AB = 12m nằm trong trực tiếp mặt hàng với chân c của tháp để tại vị nhị giác nối tiếp (hình bên). Chân của giác nối tiếp với độ cao h = l,3m. Gọi D là đỉnh tháp và nhị điểm Ap B1 nằm trong trực tiếp mặt hàng với Cj nằm trong độ cao CD của tháp. Người tớ đo được DA1C1 = 49° và DBjCj = 35°. Tính độ cao CD = CC1 + C1D của tháp cơ. Giải Ta có: DA1C1= 49° => DB1C1 = 131° => A1DB1 = 14° Xét tam giác DAjBp tớ có: „ . A,B, .sinDB.A, DA, = ——! . 1—1 sin A1DB1 => DAj « 28,45 (m) Xét tam giác DCjAp tớ có: CJ1A1 = 90° - 49° = 41°, suy ra: DC, DA, sinDÃ^C/ sin 90° => DC, = ĐA; <R5C|. 28.45 Sin49- ' sin 90° 1 Vậy độ cao tháp CD w 1,3 + 21,47 ~ 22,77 (m).